1980-1989

XXXI - I - Zadanie 4

Udowodnić, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartość 1 dla czterech różnych argumentów całkowitych, to dla żadnego argumentu całkowitego nie przyjmuje wartości -1.

W okrąg $k$ wpisany jest trójkąt $ABC$ . Na okręgu $k$ wybrano takie punkty $A', B', C'$ , że proste $AA', BB', CC'$ zawierają środkowe trójkąta $ABC$ . Wykazać, że pole trójkąta $A'B'C'$ jest nie mniejsze od pola trójkąta $ABC$ .

XXXI - I - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b, x, y, \alpha$ prawdziwa jest nierówność

$ \frac{a^{\alpha+1}}{x^{\alpha}} + \frac{b^{\alpha+1}}{y^{\alpha}} \leq \frac{(a+b)^{\alpha+1}}{(x+y)^{\alpha}} $

XXXI - I - Zadanie 1

Zbadać dla jakich wartości parametru $a$ romb o boku długości $a$ jest przekrojem sześcianu o krawędzi długości 2 płaszczyzną przechodzącą przez środek sześcianu.

XXXII - III - Zadanie 6

W czworościanie o objętości $V$ suma kwadratów długości wszystkich krawędzi jest równa $S$ . Dowieść, że

$ V \leq \frac{S\sqrt{S}}{72 \sqrt{3}} $

XXXII - III - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $(x,y)$ spełniające równanie

$ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). $

XXXII - III - Zadanie 4

Na stole leży $n$ żetonów oznaczonych liczbami całkowitymi. Jeśli wśród tych żetonów znajdują się dwa oznaczone równymi liczbami, np. liczbą $k$ , to zastępujemy je jednym żetonem z liczbą $k+1$ i jednym z liczbą $k-1$ . Udowodnić, że po skończonej (nieujemnej) liczbie takich zmian wszystkie żetony będą oznaczone różnymi liczbami.

XXXII - III - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ oraz liczb rzeczywistych $\alpha$ , $x$ spełniających nierówności $\alpha^{n-1} \leq x \leq 1$ , $0 < \alpha <1$ zachodzi nierówność

$ \prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right|\leq \prod_{k=1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} $

XXXII - III - Zadanie 2

Symetralne boków $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ trójkąta $ABC$ przecinają prostą zawierającą bok $\overline{BC}$ w punktach $X$ i $Y$ . Dowieść, że $BC = XY$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\tan B \cdot \tan C= 3$ lub $\tan B\cdot \tan C=-1$ .

XXXII - III - Zadanie 1

W przestrzeni dane są dwie przecinające się proste $a$ i $b$ . Rozważamy wszystkie pary płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$ prostopadłych i takich, że $a\subset \alpha$ , $b\subset \beta$ . Dowieść, że istnieje taki okrąg, że przez każdy jego punkt przechodzi prosta $\alpha \cap \beta$ dla pewnych $\alpha, \beta$ .