1970-1979

XXI OM - I -Zadanie 4

W kwadracie $ ABCD $, którego bok ma długość 1, leży czworokąt wypukły o polu większym od $ \frac{1}{2} $ . Dowieść, że w tym czworokącie mieści się odcinek o długości $ \frac{1}{2} $ równoległy do $ \overline{AB} $.

XXI OM - I -Zadanie 3

Na bokach $ \overline{BC} $, $ \overline{CA} $, $ \overline{AB} $ trójkąta $ ABC $ obrano odpowiednio punkty $ K, L, M $ w taki sposób, że odcinki $ \overline{AK} $, $ \overline{BL} $, $ \overline{CM} $ przecinają się w punkcie o lezącym wewnątrz trójkąta i $ \frac{AS}{SK}=\frac{BS}{SL}=\frac{CS}{SM} $. Dowieść, że $ S $ jest środkiem ciężkości trójkąta.

XXI OM - I -Zadanie 2

Dany jest ciąg $ \{c_n\} $ określony wzorami $ c_1=\frac{a}{2} $, $ c_{n+1}=\frac{a+c_n^2}{2} $ gdzie $ a $ jest daną liczbą spełniającą nierówność $ 0 < a < 1 $. Dowieść, że dla każdego $ n $ zachodzi nierówność $ c_n < 1 - \sqrt{1 - a} $Wykazać zbieżność ciągu $ \{c_n\} $ i obliczyć jego granicę.

XXII OM - III - Zadanie 6

Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości 1. Udowodnić, że:
1) Na powierzchni $ S $ czworościanu istnieją takie cztery punkty, że odległość każdego punktu powierzchni $ S $ od jednego z tych czterech punktów nie przekracza $ \frac{1}{2} $.
2) Na powierzchni $ S $ nie istnieją trzy punkty o podobnej własności.
Przez odległość punktów należących do $ S $ rozumiemy kres dolny długości łamanych zawartych w $ S $ łączących te punkty.

XXII OM - III - Zadanie 5

Znaleźć największą liczbą całkowitą $ A $ taką, że dla każdej permutacji zbioru liczb naturalnych nie większych od 100 suma pewnych 10 kolejnych wyrazów jest co najmniej równa $ A $.

XXII OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $ x, y, z, n $ spełniają równanie

\[<br /> (1) \qquad x^n+y^n = z^n,<br /> \]

to $ \min (x, y) > n $.

XXII OM - III - Zadanie 3

Ile co najmniej zamków trzeba założyć do skarbca, aby przy pewnym rozkładzie kluczy z 11-osobowej komisji upoważnionej do otwierania skarbca każdych 6 członków mogło go otworzyć, ale żadnych 5 nie mogło? Określić rozdział kluczy między członków komisji przy minimalnej liczbie zamków.

XXII OM - III - Zadanie 2

Na stole bilardowym w kształcie trójkąta, którego miary kątów są współmierne, pchnięto kulę z pewnego punktu wewnętrznego. Kula odbija się od ścian zgodnie z prawem "kąt padania równy kątowi odbicia". Udowodnić, że liczba kierunków, w jakich może się poruszać kula, jest skończona. (Zakładamy, że kula nie trafia w wierzchołek trójkąta).

XXII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ a_n $ jest ciągiem różnych liczb naturalnych, których rozwinięcia dziesiętne nie zawierają, cyfry O, to

\[<br /> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} < 29.<br /> \]
Subskrybuje zawartość