Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

II OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać układ równań

$ \left\{ \begin{array}{l} xy = ax + by\\ yz =ay + bz\\ zx = az + bx. \end{array} \right. $

II OM - I - Zadanie 8

Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków o danej długości $a$ , których końce leżą na dwóch prostych wzajemnie prostopadłych (przecinających się lub skośnych).

Dany jest okrąg $C$ oraz punkty $A$ i $B$ leżące w nierównych odległościach od środka tego okręgu. Dowieść, że wspólne cięciwy okręgu $C$ z okręgami przechodzącymi przez punkty $A$ i $B$ leżą na prostych mających jeden punkt wspólny.

II OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli suma liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ jest równa $1$ , to

$ (1) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9. $

II OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną parzystą, to liczba $13^n + 6$ jest podzielna przez $7$ .

II OM - I - Zadanie 4

Dane są dwie przecinające się płaszczyzny $A$ i $B$ oraz prosta $m$ przecinająca płaszczyzny $A$ i $B$ . Znaleźć miejsce geometryczne środków odcinków równoległych do prostej $m$ , których końce leżą na płaszczyznach $A$ i $B$ .

II OM - I - Zadanie 3

W kole poprowadzono dwie równe cięciwy $AB$ i $AC$ oraz dowolną cięciwę $AD$ ; prosta $AD$ przecina prostą $BC$ w pwnkcie $E$ . Dowieść, że iloczyn $AE \cdot AD$ nie zależy od położenia punktu $D$ na okręgu, tj. że $AE \cdot AD = AC^2$ .

II OM - I - Zadanie 2

Znaleźć warunek, jaki powinny spełniać współczynniki trójmianów

$ (1) \qquad x^2 + mx + n \textrm{ i } x^2 + px + q, $

aby między pierwiastkami każdego z tych trójmianów leżał pierwiastek drugiego trójmianu. Litery $m$ , $n$ , $p$ , $q$ oznaczają tu liczby rzeczywiste.

II OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn dwóch czynników, z których każdy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest również sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

III OM - III - Zadanie 6

W okrągłej wieży o wewnętrznej średnicy $2$ m znajdują się schody kręcone o wysokości $6$ m. Wysokość każdego stopnia schodów wynosi $0,15$ m. W rzucie poziomym stopnie tworzą przylegające do siebie wycinki kołowe o kącie $18^\circ$ . Węższe końce stopni umocowane są w okrągłym filarze o średnicy $0,64$ m, którego oś pokrywa się z osią wieży. Obliczyć największą długość pręta prostoliniowego, który można przenieść tymi schodami z dołu do góry (nie brać pod uwagę grubości pręta ani grubości płyt, z których zrobione są schody).

Olimpiady Matematyczne