2008-2009

IX CPS - Zadanie 5

Liczby całkowite dodatnie $a_1,a_2,\dots,a_n$ spełniają następujące warunki:

$1\leq a_1<a_2<\dots<a_n\leq50$ ;
dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich $b_1,b_2,\dots,b_n$ istnieje taka liczba całkowita dodatnia $m$ oraz liczby całkowite dodatnie $c_1,c_2,\dots,c_n$ , że

$ mb_i=(c_i)^{a_i}\text{ dla }i=1,2,\dots,n. $

Wykazać, że $n\leq16$ oraz wyznaczyć liczbę różnych ciągów $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ spełniających powyższe warunki dla $n=16$ .

Dany jest okrąg $k$ i jego cięciwa $AB$ , nie będąca średnicą. Niech $C$ będzie dowolnym punktem na dłuższym łuku $AB$ okręgu $k$ . Oznaczmy przez $K,L$ odbicia punktów $A,B$ względem prostych odpowiednio $BC,AC$ . Udowodnić, że odległość między środkami odcinków $AB$ i $KL$ nie zależy od wyboru punktu $C$ .

IX CPS - Zadanie 3

Niech $k$ będzie okręgiem dopisanym do trójkąta $ABC$ , stycznym do boku $BC$ . Wybierzmy prostą $p$ równoległą do $BC$ , przecinającą odcinki $AB,AC$ w punktach odpowiednio $D,E$ . Oznaczmy przez $l$ okrąg wpisany w trójkąt $ADE$ . Styczne do okręgu $k$ przechodzące przez punkty $D,E$ i nie zawierające punktu $A$ przecinają się w punkcie $P$ . Styczne do okręgu $l$ przechodzące przez punkty $B,C$ i nie zawierające punktu $A$ przecinają się w punkcie $Q$ . Dowieść, że prosta $PQ$ przechodzi przez pewien ustalony punkt, niezależny od wyboru prostej $p$ .

IX CPS - Zadanie 2

Niech $a,k$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Ciąg $(a_n)_{n=1}^\infty$ definiujemy następująco:

$ a_1=a\quad\text{oraz}\quad a_{n+1}=a_n+k\varrho(a_n),\quad\text{dla }n=1,2,\dots, $

gdzie $\varrho(m)$ oznacza iloczyn cyfr liczby $m$ w zapisie dziesiętnym (np. $\varrho(413)=12$ , $\varrho(308)=0$ ). Udowodnić, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $a$ i $k$ , że ciąg $(a_n)_{n=1}^\infty$ przyjmuje dokładnie 2009 różnych wartości.

IX CPS - Zadanie 1

Niech $\mathbb R_+$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Znaleźć wszystkie funkcje $f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ , spełniające dla dowolnych $x,y\in\mathbb R_+$ zależność

$ (1+yf(x))(1-yf(x+y))=1. $

LX OM - III - Zadanie 6

Niech $n \geqslant$ 3 będzie liczbą naturalną. Ciąg liczb nieujemnych
$(c_0,c_1,\cdots ,c_n)$ spełnia warunek

$ (1) \qquad c_pc_s + c_rc_t = c_{p+r}c_{r+s} $

dla wszystkich $p, r, s, t \geqslant 0$ takich, że $p + r + s + t = n$ . Wyznaczyć wszystkie możliwe
wartości $c_2$ , jeśli $c_1 =1$ .

LX OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan $ABCD$ jest styczna do jego ścian $BCD, ACD, ABD, ABC$ odpowiednio w punktach
$P, Q, R, S$ . Odcinek $PT$ jest średnicą tej sfery, zaś punkty $A',Q',R',S'$ są punktami przecięcia prostych
$TA, TQ, TR, TS$ z płaszczyzną $BCD$ . Wykazać, że $A'$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $Q'R'S'$ .

LX OM - III - Zadanie 4

Niech $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ będą liczbami nieujemnymi, których suma wynosi 1. Udowodnić, że istnieją
liczby $a1,a2,\cdots ,an \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ takie, że $(a_1,a_2,\cdots ,a_n) \neq (2, 2,\cdots , 2)$ oraz

$ 2 \leqslant a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n \leqslant 2+ \frac{2}{3^n-1}. $

LX OM - III - Zadanie 3

Niech $P, Q, R$ będą wielomianami stopnia co najmniej jeden, o współczynnikach rzeczywistych,
spełniającymi dla każdej liczby rzeczywistej $x$ równości

$ P(Q(x)) = Q(R(x)) = R(P (x)). $

Wykazać, że $P = Q = R$ .

LX OM - III - Zadanie 2

Niech $S$ będzie zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych. Znaleźć
najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią $k$ , dla której istnieje 60–elementowy podzbiór zbioru $S$
o następującej własności: Dla dowolnych dwóch różnych elementów $A$ i $B$ tego podzbioru istnieje taki punkt
$C \in S$ , że pole trójkąta $ABC$ jest równe $k$ .

Olimpiady Matematyczne