2007-2008

LIX OM - I -Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita $ n \geqslant 1 $. Każdemu niepustemu podzbiorowi $ A $ zbioru $ \{1, 2,\dots ,n\} $
przyporządkowujemy liczbę $ w(A) $ w następujący sposób: Jeżeli $ a_1 >a_2 >\dots >a_k $ są wszystkimi elementami
zbioru A, to

\[<br /> (1)\qquad w(A)= a_1 -a_2 +a_3 -\dots +(-1)^{k+1} a_k.<br /> \]

Obliczyć sumę wszystkich $ 2n-1 $ otrzymanych liczb $ w(A) $.

LIX OM - I -Zadanie 3

Ciąg liczb całkowitych $ a_1, a_2, a_3, \dots $ jest określony przez warunki: $ a_1 = 1, a_2 = 2 $,

\[<br /> (1)\qquad a_n =3a_n-1 +5a_{n-2} \quad\text{ dla }n =3,4,5,\dots .<br /> \]

Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita $ k \geqslant 2 $, że liczba $ a_k $ jest dzielnikiem
iloczynu $ a_{k+1}a_{k+2} $.

LIX OM - I -Zadanie 2

Dany jest kąt wypukły o wierzchołku $ P $ i punkt $ A $ leżący wewnątrz tego kąta. Punkty $ X $ i $ Y $ leżą na różnych
ramionach tego kąta, przy czym $ PX = PY $ oraz wartość sumy $ AX +AY $ jest najmniejsza. Wykazać, że
$ \measuredangle XAP = \measuredangle YAP $.

Subskrybuje zawartość