2006-2007

XVIII ZMPB - Zadanie 16

Niech $a$ i $b$ będą takimi liczbami wymiernymi, że

$<br /> s=a+b=a^2+b^2.<br />$

Wykazać, że liczbę $s$ można zapisać w postaci ułamka, którego mianownik jest względnie pierwszy z liczbą 6.

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do boku $AC$ w punkcie $D$ . Inny okrąg przechodzi przez punkt $D$ i jest styczny do półprostych $BC$ i $BA$ - do drugiej z nich w punkcie $A$ . Obliczyć stosunek $AD/DC$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 14

W czworokącie wypukłym $ABCD$ zachodzi równość $\measuredangle ADC=90^\circ$ . Punkty $E$ i $F$ są rzutami prostokątnymi punktu $B$ odpowiednio na proste $AD$ i $AC$ . Załóżmy, że punkt $F$ leży między $A$ i $C$ , punkt $A$ leży między $D$ i $E$ , zaś prosta $EF$ przechodzi przez środek odcinka $BD$ . Dowieść, że na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.

XVIII ZMPB - Zadanie 13

Niech $t_1$ , $t_2$ , $\ldots$ , $t_k$ będą różnymi prostymi w przestrzeni ( $k>1$ ). Udowodnić, że istnieją takie punkty $P_i$ na $t_i$ ( $i=1,2,\ldots,k$ ), że $P_{i+1}$ jest rzutem prostokątnym $P_i$ na prostą $t_{i+1}$ ( $i=1,2,\ldots,k-1$ ), a $P_1$ jest rzutem prostokątnym $P_k$ na prostą $t_1$ .}

XVIII ZMPB - Zadanie 12

Punkt $M$ leży na tym łuku $AB$ okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , który nie zawiera punktu $C$ . Załóżmy, że rzuty prostokątne punktu $M$ na proste $AB$ i $BC$ leżą na samych bokach, a nie na ich przedłużeniach. Oznaczmy te rzuty odpowiednio przez $X$ i $Y$ . Niech $K$ i $N$ będą odpowiednio środkami odcinków $AC$ i $XY$ . Dowieść, że $\measuredangle MNK=90^\circ$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 11

W trójkącie $ABC$ odcinki $AD$ , $BE$ i $CF$ są wysokościami. Punkty $P$ , $Q$ , $R$ i $S$ spełniają następujące warunki:

$P$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ .
Długości odcinków $PQ$ , $QR$ i $RS$ są równe promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ .
Odcinek zorientowany $PQ$ ma ten sam kierunek i zwrot, co odcinek zorientowany $AD$ . Podobnie, odcinek $QR$ ma ten sam kierunek i zwrot, co $BE$ , zaś odcinek $RS$ ma ten sam kierunek i zwrot, co $CF$ .

Wykazać, że punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 10

Dana jest tablica $18\times 18$ , której każde pole może być białe albo czarne. Początkowo wszystkie pola są białe. Możemy wykonywać następującą operację: wybieramy kolumnę lub wiersz i zmieniamy kolory wszystkich pól w tej kolumnie lub wierszu. Czy wykonując wielokrotnie taką operację możemy otrzymać tablicę, w której będzie dokładnie 16 czarnych pól?

XVIII ZMPB - Zadanie 9

W pewnym stowarzyszeniu należy wybrać zarząd. Każdy członek wskazał 10 kandydatów do zarządu, ale będzie zadowolony, jeżeli przynajmniej jeden z nich znajdzie się w zarządzie. Dla dowolnych sześciu członków stowarzyszenia można utworzyć dwuosobowy zarząd, zadowalający wszystkich sześciu. Dowieść, że można wybrać 10-osobowy zarząd, zadowalający wszystkich członków stowarzyszenia.

XVIII ZMPB - Zadanie 8

Nazwijmy zbiór $A$ liczb całkowitych nieizolowanym, jeżeli dla każdego $a\in A$ przynajmniej jedna z liczb $a-1$ , $a+1$ także należy do $A$ . Udowodnić, że liczba pięcioelementowych nieizolowanych podzbiorów zbioru $\{1,2,\ldots,n\}$ wynosi $(n-4)^2$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 7

Potworek składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $1$ , jak pokazuje rysunek.

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $n$ , dla których trójkąt równoboczny o boku $n$ można podzielić na potworki (obroty i odbicia potworków są dopuszczalne; potworki nie mogą na siebie zachodzić).

Olimpiady Matematyczne