2005-2006

LVII OM - I - Zadanie 4

Uczestnicy zawodów matematycznych rozwiązywali sześć zadań, każde oceniane jedną z ocen 6, 5, 2, 0. Okazało się, że
dla każdej pary uczestników $ A, B $ można wskazać takie dwa zadania, że w każdym z nich $ A $ uzyskał inną ocenę niż $ B $.

Wyznaczyć największą liczbę uczestników, dla której taka sytuacja jest możliwa.

LVII OM - I - Zadanie 3

Trójkąt ostrokątny $ ABC $ jest wpisany w okrąg o środku $ O $. Punkt $ D $ jest rzutem prostokątnym punktu $ C $ na prostą $ AB $, a punkty $ E $ i $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ D $ odpowiednio na proste $ AC $ i $ BC $. Wykazać, że pole czworokąta $ EOFC $ jest równe połowie pola trójkąta $ ABC $.

LVII OM - I - Zadanie 2

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych nieujemnych $ x $ równanie

\[<br /> \sqrt[5]{x}=\left[\sqrt[5]{3x}\right]<br /> \]

Uwaga: $ [t] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $ t $.

LVII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite $ n $, dla których liczba
$ 2^n +105 $ jest kwadratem liczby całkowitej.

Subskrybuje zawartość