Ciągi

XXIII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że

$ 2\sin \left( 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} \right) \frac{\pi}{4} = \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \ldots + \sqrt{2}}}}_{n \ \textrm{pierwiastków}} $

XXIII OM - I - Zadanie 5

Ciąg wielomianów $P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots$ jest określony wzorami $P_0(x) = 2$ , $P_1(x) = x$ ,

$ (1)\qquad P_{n+1}(x) = x\cdot P_n(x) - P_{n-1}(x) \quad (n=1, 2, \ldots). $

Wykazać istnienie takich liczb rzeczywistych $a, b, c$ , że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość

$ (2)\qquad (x^2 - 4) (P_n^2(x) - 4) = (a \cdot P_{n+1}(x) + b \cdot P_n(x) + c \cdot P_{n-1}(x))^2. $

XXIV OM - III - Zadanie 2

Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem, że w ciągu $n$ rzutów monetą pojawi się seria kolejnych 100 orłów. Dowieść, że ciąg liczb $p_n$ jest zbieżny i obliczyć jego granicę.

Niech $x_n = (p + \sqrt{q})^n - [(p + \sqrt{q})^n]$ dla $n = 1, 2, 3, \ldots$ . Dowieść, że jeżeli $p$ , $q$ są liczbami naturalnymi spełniającymi warunek $p - 1 < \sqrt{q} < p$ , to $\lim_{n\to \infty} x_n = 1$ .
Uwaga. Symbol $[a]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $a$ .

XXIV OM - II - Zadanie 3

Niech $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ będzie funkcją rosnącą spełniającą warunki:
1. $f(x+1) = f(x) + 1$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ ,
2. istnieje taka liczba całkowita p, że $f(f(f(O))) = p$ . Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$

$ \lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{n} = \frac{p}{3}. $

gdzie $x_1 = x$ oraz $x_n =f(x_{n-1})$ dla $n = 2, 3, \ldots$ .

XXV OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $n$ , $r$ spełniają nierówność $r + 3 \leq n$ ,to liczby $\binom{n}{r}$ , $\binom{n}{r+1}$ , $\binom{n}{r+2}$ , $\binom{n}{r+3}$ nie są kolejnymi wyrazami żadnego ciągu arytmetycznego.

XXV OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg liczb całkowitych $a_1, a_2, \ldots, a_{2n+1}$ o następującej własności: po odrzuceniu dowolnego wyrazu pozostałe można podzielić na takie dwie grupy po $n$ wyrazów, że suma wyrazów w pierwszej grupie równa jest sumie wyrazów w drugiej. Dowieść, że wszystkie wyrazy ciągu są równe.

XXV OM - II - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $q,t \in \langle \frac{1}{2}; 1)$ , $t \in (0; 1 \rangle$ . Udowodnić, że istnieje taki rosnący ciąg liczb naturalnych ${n_k}$ ( $k = 1,2, \ldots$ ), że

$ t = \lim_{N\to \infty} \sum_{j=1}^N q^{n_j}. $

XXV - I - Zadanie 5

Dowieść, że dla każdego $k$ , $k$ -te od końca cyfry w układzie dziesiętnym liczb $5, 5^2, 5^3, \ldots$ tworzą od pewnego miejsca ciąg okresowy.

XXVI - III - Zadanie 1

Ciąg liczb rzeczywistych ${a_k}_{k=1}^{\infty}$ spełnia następujący warunek:
Istnieje liczba naturalna $n$ taka, że $a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 0$ i $a_{n+k} = a_k$ dla $k = 1, 2, \ldots$ .
Dowieść, że istnieje taka liczba naturalna $N$ , że $\sum_{i=N}^{N+k}$ dla $k = 0$ , $1, 2, \ldots$ .