Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

II OM - I - Zadanie 3

W kole poprowadzono dwie równe cięciwy $ AB $ i $ AC $ oraz dowolną cięciwę $ AD $; prosta $ AD $ przecina prostą $ BC $ w pwnkcie $ E $. Dowieść, że iloczyn $ AE \cdot AD $ nie zależy od położenia punktu $ D $ na okręgu, tj. że $ AE \cdot AD = AC^2 $.

II OM - I - Zadanie 2

Znaleźć warunek, jaki powinny spełniać współczynniki trójmianów

\[<br /> (1) \qquad x^2 + mx + n \textrm{ i } x^2 + px + q,<br /> \]

aby między pierwiastkami każdego z tych trójmianów leżał pierwiastek drugiego trójmianu. Litery $ m $, $ n $, $ p $, $ q $ oznaczają tu liczby rzeczywiste.

II OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn dwóch czynników, z których każdy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest również sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

III OM - III - Zadanie 6

W okrągłej wieży o wewnętrznej średnicy $ 2 $ m znajdują się schody kręcone o wysokości $ 6 $ m. Wysokość każdego stopnia schodów wynosi $ 0,15 $ m. W rzucie poziomym stopnie tworzą przylegające do siebie wycinki kołowe o kącie $ 18^\circ $. Węższe końce stopni umocowane są w okrągłym filarze o średnicy $ 0,64 $ m, którego oś pokrywa się z osią wieży. Obliczyć największą długość pręta prostoliniowego, który można przenieść tymi schodami z dołu do góry (nie brać pod uwagę grubości pręta ani grubości płyt, z których zrobione są schody).

III OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że żadna z cyfr $ 2 $, $ 4 $, $ 7 $, $ 9 $ nie może być ostatnią cyfrą liczby

\[<br /> 1 + 2 + 3 + \ldots + n,<br /> \]

gdzie $ n $ jest liczbą naturalną.

III OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli kąty $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta spełniają równanie

\[<br /> (1) \qquad \cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1,<br /> \]

to jeden z tych kątów równa się $ 120^\circ $.

III OM - III - Zadanie 3

Zbudować czworokąt $ ABCD $ mając dane długości boków $ AB $ i $ CD $ oraz kąty czworokąta.

III OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że płaszczyzna, która przechodzi: a) przez środki dwóch krawędzi przeciwległych czworościanu i b) przez środek jednej z pozostałych krawędzi czworościanu, dzieli czworościan na dwie części o równych objętościach.

Czy teza pozostanie prawdziwa, gdy odrzucimy założenie b)?

III OM - II - Zadanie 5

Pionowy maszt znajdujący się na wieży widać pod największym kątem z takiego punktu ziemi, którego odległość od osi masztu wynosi $ a $; kąt ten równa się danemu kątowi $ \alpha $. Obliczyć wysokość wieży i wysokość masztu.

Subskrybuje zawartość