Funkcje i ich własności

XLI OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć w zależności od stałych rzeczywistych $a$ , $b$ liczbę rzeczywistych pierwiastków równania

$ \sqrt{(x-a)\cdot|x-b|} = (a-b)^2. $

XLII OM - I - Zadanie 5

Dany jest odcinek $AD$ . Znaleźć na nim takie punkty $B$ i $C$ , by iloczyn długości odcinków $AB$ , $AC$ , $AD$ , $BC$ , $BD$ , $CD$ był maksymalny.

XLIII OM - I - Zadanie 6

Funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ma tę własność, że funkcja

$ g(x)=f(x)+\sin(f(x)) $

jest okresowa. Udowodnić, że funkcja $f$ też jest okresowa.

Funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest ciągła. Wykazać, że jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej $x$ istnieje taka liczba naturalna $n$ , że $(\underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n})(x) = 1$ , to $f(1)=1$ .

XLVI OM - I - Zadanie 7

(a) Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja różniczkowalna $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ nie równa tożsamościowo zeru, spełniająca warunki:

$ 2f(f(x)) = f(x) \geq 0 \quad \text{ dla } x\in \mathbb{R} $

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja różniczkowalna $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ nie równa tożsamościowo zeru, spełniająca warunki:

$ -1 \leq 2f(f(x)) = f(x) \leq 1 \quad \text{ dla } x\in \mathbb{R} $

XLVIII OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \langle 1,\ \infty) \to \langle 1,\ \infty)$ , które spełniają następujące warunki:

[(i)] $f(x+1) = \frac{(f(x))^2-1}{x}$ dla $x \geq 1$ ;
[(ii)] funkcja $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ jest ograniczona.

LI OM - I - Zadanie 8

Liczby $c(n,k)$ są określone dla liczb całkowitych nieujemnych $n\geq k$ w ten sposób, że zachodzą równości:

$ c(n,0) = c(n,n) = 1\ \textrm{dla każdej liczby}\ n \geq 0, $

$ c(n+1,k) = 2^kc(n,k) + c(n,k-1)\ \textrm{dla}\ n\geq k \geq 1. $

Dowieść, że $c(n,k) = c(n,n-k)$ dla $n\geq k \geq 0$ .

LI OM - I - Zadanie 7

Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ i dowolnej liczby $t\in(\frac{1}{2},1)$ istnieją takie liczby $a,b \in (1999,2000)$ , że

$ \frac{1}{2}a^{n}+\frac{1}{2}b^{n}<(ta+(1-t)b)^{n}. $

LVI OM - I - Zadanie 12

Dane są funkcje

$ f(x)=2^x$ \quad \text{oraz} \quad $g(x)= f(f(f(f(f(f(f(x))))))) $

(7-krotna iteracja funkcji $f$ ). Rozstrzygnąć, czy liczba $g(3)-g(0)$ jest podzielna przez liczbę $g(2)-g(0)$ .

LVII OM - I - Zadanie 12

Niech $a_0$ będzie liczbą całkowitą dodatnią i niech

$ a_{i+1} = \begin{cases} a_i/2, &\text{gdy } a_i \text{ jest liczbą parzystą}, \\ 3a_i -1, &\text{gdy } a_i \text{ jest liczbą nieparzystą} \end{cases} $

dla $i=0,1,2,\dots$ . Wykazać, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią spełniającą warunek $a_n = a_0$ , to $2^n >a_0$ .

Olimpiady Matematyczne