Kombinatoryka i logika

XXII OM - III - Zadanie 3

Ile co najmniej zamków trzeba założyć do skarbca, aby przy pewnym rozkładzie kluczy z 11-osobowej komisji upoważnionej do otwierania skarbca każdych 6 członków mogło go otworzyć, ale żadnych 5 nie mogło? Określić rozdział kluczy między członków komisji przy minimalnej liczbie zamków.

XXII OM - II - Zadanie 5

Dany jest zbiór liczb $ \{1, 2, 3, \ldots, 100\} $. Ze zbioru tego utworzyć 10 podzbiorów parami rozłącznych $ N_i = \{a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots a_{i,10}} $ ($ i = 1, 2, \ldots, 10 $) tak, aby suma iloczynów

\[<br /> \sum_{i=10}^{10}\prod_{j=1}^{10} a_{i,j}<br /> \]

była największa.

XXII OM - II - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów $ Z $ o tej własności, że żadne dwie odległości punktów zbioru $ Z $ nie są równe. Punkty $ A, B $ należące do $ Z $ łączymy wtedy i tylko wtedy, gdy $ A $ jest punktem najbliższym $ B $ lub $ B $ jest punktem najbliższym $ A $. Udowodnić, że żaden punkt zbioru $ Z $ nie będzie połączony z więcej niż pięcioma innymi.

XXII OM - II - Zadanie 3

Danych jest 6 prostych w przestrzeni, z których żadne 3 nie są równoległe, żadne 3 nie przechodzą przez ten sam punkt i żadne 3 nie są zawarte w jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że wśród tych 6 prostych istnieją 3 proste wzajemnie skośne.

XXII OM - II - Zadanie 1

Na ile sposobów można tak wybrać $ k $ pól szachownicy $ n \times n $ ($ k \leq n $), aby żadne dwa z wybranych pól nie leżały ani w jednym wierszu, ani w jednej kolumnie?

XXIII OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że wszystkie podzbiory zbioru skończonego można ustawić w ciąg, którego kolejne wyrazy różnią się jednym elementem.

XXIII OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie danych jest $ n > 2 $ punktów, z których żadne trzy nie ją współliniowe. Udowodnić, że najkrótsza spośród łamanych zamkniętych przechodzących przez te punkty jest łamaną zwyczajną.

XXIII OM - II - Zadanie 4

Sześcian o krawędzi długości $ n $ podzielono płaszczyznami równoległymi do jego ścian na $ n^3 $ sześcianów jednostkowych. Ile istnieje par złożonych z takich sześcianów jednostkowych, które mają nie więcej niż dwa wierzchołki wspólne?

XXIV OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że wśród pięciu odcinków leżących na jednej prostej są trzy odcinki mające punkt wspólny lub trzy odcinki parami rozłączne.

XXV OM - II - Zadanie 1

Niech $ Z $ będzie zbiorem $ n $-elementowym. Znaleźć liczbę takich par zbiorów $ (A, B) $, że $ A $ zawiera się w $ B $ i $ B $ zawiera się w $ Z $. Przyjmujemy, że każdy zbiór zawiera także siebie i zbiór pusty.

Subskrybuje zawartość