Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Liczby całkowite

Znaleźć liczbę czterocyfrową, której dwie pierwsze cyfry są jednakowe, dwie ostatnie cyfry są jednakowe i która jest kwadratem liczby całkowitej.

Dowieść, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których środkowa jest sześcianem liczby naturalnej, jest podzielny przez $504$ .

Dowieść, że jeżeli $a$ jest liczbą całkowitą różną od $1$ i od $- 1$ , to $a^4 + 4$ nie jest liczbą pierwszą.

Dowieść, że liczba

$ 53^{103} + 103^{53} $

jest podzielna przez $78$ .

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

$ 2^{n+2} + 3^{2n+1} $

jest podzielna przez $7$ .

Znaleźć wszystkie liczby całkowite $x$ i $y$ spełniające równanie

$ (1) \qquad (x + 2)^4 - x^4 = y^3. $

Dowieść, że jeżeli suma $a + b$ dwóch liczb całkowitych jest podzielna przez liczbę nieparzystą $n$ , to $a^n + b^n$ jest podzielne przez $n^2$ .

Czy to twierdzenie zachodzi dla parzystego $n$ ?

Dowieść, że każda liczba naturalna, która nie jest całkowitą potęgą liczby $2$ , jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.

Znaleźć cztery ostatnie cyfry liczby $5^{5555}$ .

Dowieść, że żadna liczba postaci $2^n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną, nie jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.