Liczby rzeczywiste

VIII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że, jeżeli $ x $, $ y $, $ z $ oraz $ \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} $ są liczbami wymiernymi, to również $ \sqrt{x} $, $ \sqrt{y} $, $ \sqrt{z} $ są liczbami wymiernymi.

VIII OM - I - Zadanie 5

Jaki warunek powinna spełniać liczbą $ q $, aby istniał trójkąt, którego boki tworzą postęp geometryczny o ilorazie $ q $?

IX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 1 $, to

\[<br /> \cos \frac{2\pi}{n} + \cos \frac{4\pi}{n} + \cos \frac{6\pi}{n} + \ldots + \cos \frac{2n \pi}{n} = 0.<br /> \]

IX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli

\[<br /> (1) \qquad (a + b + c)^2 = 3 (ab + bc + ac - x^2 - y^2 - z^2),<br /> \]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ x $, $ y $, $ z $ oznaczają liczby rzeczywiste, to $ a = b = c $ oraz $ x = y = z = 0 $.

XI OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $, z których żadna nie jest zerem spełniają zależność

\[<br /> (1) \qquad a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 = abc (a^3 + b^3 + c^3)<br /> \]

to można je ustawić w takim porządku, że utworzą postęp geometryczny.

Subskrybuje zawartość