Nierówności

XII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $a + b = 1$ , to

$ a^5 + b^5 \geq \frac{1}{16} $

XII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ spełniają nierówności

$(1) \qquad a + b + c> 0,$

$(2) \qquad ab + bc + ca > 0,$

$(3) \qquad abc > 0,$

to $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ .

XII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnych kątów $x$ , $y$ , $z$ zachodzi równość

$ (1) \qquad \begin{split} &1 - \cos^2 x - \cos^2 y - \cos^2 z + 2 \cos x \cos y \cos z=\\ &\qquad =4 \sin \frac{x+y+z}{2} \sin \frac{x+y-z}{2} \sin \frac{x-y+z}{2} \sin\frac{-x-y+z}{2}. \end{split} $

XII OM - I - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli $a_1 \leq a_2 \leq a_3$ i $b_1 \leq b_2 \leq b_3$ , to

$ \frac{a_1+a_2+a_3}{3}\cdot\frac{b_1+b_2+b_3}{3} \leq\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{3} $

XIII OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną większą od $2$ , to

$ (1) \qquad \sqrt[n + 1]{n+1} < \sqrt[n]{n}. $

XIII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli boki $a$ , $b$ , $c$ trójkąta spełniają nierówność

$ a $

to dwusieczne $d_a$ , $d_b$ , $d_c$ kątów przeciwległych spełniają nierówność

$ d_a > d_b > d_c. $

XIII OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $x^2 + y^2 = a^2$ i $a \geq 0$ , to

$ x + y \leq a \sqrt{2}. $

Rozwiązanie

Ponieważ

$ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 2x^2 + 2y^2 - (x - y)^2 = 2a^2 - (x - y)^2 $

a $(x -y)^2 \geq 0$ , więc $(x + y)^2 \leq 2a^2$ , skąd $|x + y| \leq a \sqrt{2}$ , tym bardziej więc

$ x+y \leq a\sqrt{2}. $

Uwaga. Posługując się początkowymi wiadomościami z geometrii analitycznej można podać prostą interpretację geometryczną udowodnionego twierdzenia. W układzie współrzędnych prostokątnych $(x,y)$ równanie $x^2 + y^2 = a^2$ ( $a \geq 0$ ) przedstawia okrąg o środku w początku układu i promieniu równym $a$ . Równanie $x + y = k$ ( $k \ne 0$ ) przedstawia prostą wyznaczającą na osiach współrzędnych odcinki równe $k$ .

Suma $x + y$ współrzędnych punktu okręgu osiąga największą wartość $k$ , gdy prosta $x + y = k$ jest styczna do okręgu w punkcie pierwszej ćwiartki (rys. 1). Wówczas $k = a \sqrt{2}$ . Dla każdego punktu okręgu zachodzi zatem nierówność $x + y \leq a \sqrt{2}$ .