Planimetria

III OM - I - Zadanie 4

a) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ nie leżące na prostej. Wyznaczyć takie trzy proste wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , żeby odstępy między sąsiednimi prostymi równoległymi były równe.

b) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżące na płaszczyźnie. Wyznaczyć takie cztery płaszczyzny wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , żeby odstępy między sąsiednimi płaszczyznami równoległymi były równe.

III OM - I - Zadanie 1

Do dwóch okręgów poprowadzono wspólną styczną wewnętrzną oraz obie wspólne styczne zewnętrzne. Dowieść, że odcinek stycznej wewnętrznej zawarty między stycznymi zewnętrznymi jest równy odcinkowi stycznej zewnętrznej zawartemu między jej punktami styczności.

IV OM - III - Zadanie 5

Z punktu $O$ wyrusza po prostoliniowej szosie samochód i jedzie ze stałą prędkością $v$ . Do samochodu tego pragnie podać list rowerzysta, który znajduje się w odległości $a$ od punktu $O$ i w odległości $b$ od szosy. Z jaką minimalną prędkością powinien jechać rowerzysta, aby osiągnąć swój cel?

IV OM - III - Zadanie 2

Znaleźć miejsce geometryczne środka prostokąta, którego wierzchołki leżą na obwodzie danego trójkąta.

IV OM - II - Zadanie 6

Dany jest okrąg i dwie styczne do tego okręgu. Poprowadzić trzecią styczną do okręgu w taki sposób, żeby jej odcinek zawarty między danymi stycznymi miał daną długość $d$ .

IV OM - II - Zadanie 3

Trójkątny kawałek blachy waży $900$ g. Dowieść, że rozcinając tę blachę po prostej przechodzącej przez środek ciężkości trójkąta nie można odciąć kawałka ważącego mniej niż $400$ g.

IV OM - I - Zadanie 12

Dana jest prosta $p$ oraz punkty $A$ i $B$ leżące po przeciwnych stronach tej prostej. Poprowadzić przez punkty $A$ i $B$ taki okrąg, żeby jego cięciwa położona na prostej $p$ była jak najkrótsza.

IV OM - I - Zadanie 8

Przez punkt $M$ dany na przedłużeniu boku $AB$ trójkąta $ABC$ poprowadzić prostą przecinającą boki $AC$ i $BC$ w punktach $N$ i $P$ w taki sposób, żeby odcinki $AN$ i $BP$ były równe.

IV OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli figura płaska ma dwie i tylko dwie osie symetrii, to te osie są prostopadłe.

IV OM - I - Zadanie 5

W trapezie $ABCD$ przez punkt przecięcia $S$ przekątnych poprowadzono prostą równoległą da podstaw $AB$ i $DC$ trapezu, która przecina boki $AD$ i $BC$ w punktach $M$ i $N$ . Dowieść, że 1) $MN$ równa się średniej harmonicznej podstaw, 2) jeżeli $\measuredangle ADC = \measuredangle ACB$ , to $AC$ równa się średniej geometrycznej podstaw.