Rachunek prawdopodobieństwa

XXXV OM - I - Zadanie 9

Trzy zdarzenia spełniają warunki:
a) ich prawdopodobieństwa są równe,
b) każde dwa spośród nich są niezależne,
c) nie zachodzą równocześnie.
Wyznaczyć największą wartość prawdopodobieństwa każdego z tych zdarzeń.

XXXVI OM - II - Zadanie 3

Niech $L$ będzie zbiorem wszystkich łamanych $ABCDA$ , gdzie $A, B, C, D$ są różnymi wierzchołkami ustalonego 1985-kąta foremnego. Ze zbioru $L$ losowo wybieramy łamaną. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jest ona brzegiem czworokąta wypukłego.

XXXVI OM - I - Zadanie 9

W urnie jest 1985 kartek z napisanymi liczbami 1,2,3,..., 1985, każda lczba na innej kartce. Losujemy bez zwracania 100 kartek. Znaleźć wartość oczekiwaną sumy liczb napisanych na wylosowanych kartkach.

XXXVII OM - I - Zadanie 11

Rzucamy kostką najpierw raz, a następnie tyle razy, ile oczek wypadło przy pierwszym rzucie. Obliczyć wartość oczekiwaną sumy wyrzuconych oczek {łącznie z pierwszym rzutem).

XXXVIII OM - III - Zadanie 2

W okrąg o długości 1 wpisano $n$ -kąt foremny. Spośród łuków okręgu mających końce w wierzchołkach tego wielokąta losujemy ze zwracaniem pięć łuków $L_1, \ldots, L_5$ , przy czym dla wszystkich łuków prawdopodobieństwo wylosowania jest jednakowe. Wykazać, że wartość oczekiwana długości części wspólnej $L_1\cap L_2 \cap L_3 \cap L_4 \cap L_5$ nie zależy od $n$ .

XXXVIII OM - II - Zadanie 1

Z urny zawierającej jedną kulę oznaczoną numerem 1, dwie kule oznaczone numerem 2, ..., $n$ kul oznaczonych numerem $n$ wyciągamy bez zwracania dwie kule. Przyjmujemy, że wyciągnięcie każdej kuli z urny jest jednakowo prawdopodobne. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie wyciągnięte kule mają ten sam numer.

XXXIX OM - III - Zadanie 2

Dla permutacji $P=(p_1, \ldots, p_n)$ zbioru $\{1,2,\ldots, n\}$ definiujemy $X(P)$ jako liczbę wyrazów $p_s$ permutacji $P$ mających następującą własność: dla każdego $i < s$ zachodzi nierówność $p_i < p_s$ . Zakładając, że wszystkie permutacje są jednakowo prawdopodobnymi zdarzeniami losowymi, obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$ .

XXXIX OM - I - Zadanie 9

Spośród wierzchołków $n$ -kąta foremnego ( $n \geq 4$ ) wybrano cztery różne. Wybór każdej czwórki wierzchołków jest jednakowo prawdopodobny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wszystkie wybrane wierzchołki leżą na pewnym półokręgu (przyjmujemy, że do półokręgu należą jego końce).

XXXIX OM - I - Zadanie 6

Spośród liczb $1, 2, \ldots, 3n$ ( $n > 2$ ) wybieramy w sposób losowy cztery różne. Wybór każdej czwórki jest jednakowo prawdopodobny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma wybranych liczb dzieli się przez 3.

XL OM - III - Zadanie 4

Niech $n, k$ będą liczbami naturalnymi. Wybieramy ciąg zbiorów $A_0,\ldots, A_k$ tak, że $A_0 = \{1,\ldots, n\}$ , a dla $i = 1,\ldots, k$ zbiór $A_i$ jest losowo wybranym podzbiorem $A_{i-1}$ , przy czym wybór każdego podzbioru jest jednakowo prawdopodobny. Rozpatrujemy zmienną losową równą liczbie elementów $A_k$ . Dowieść, że jej wartość oczekiwana jest równa $n2^{-k}$ .