Równania funkcyjne

LIII OM - II - Zadanie 1

Dana jest taka funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzą równości

$ f(x) = f(2x) = f(1 - x) . $

Dowieść, że funkcja $f$ jest okresowa.

LIV OM - II - Zadanie 6

Każdej parze liczb całkowitych nieujemnych $(x,y)$ jest przyporządkowana liczba $f (x,y)$ zgodnie z warunkami:

$ \begin{array}{rcl} f (0,0) &=& 0;\\ f (2x, 2y) &=& f (2x +1,2y + 1) = f (x, y),\\ f(2x +1,2y) &=& f(2x, 2y +1)= f(x,y) + 1\ \textrm{dla}\ x,y \geq 0. \end{array} $

Niech $n$ będzie ustaloną liczbą całkowitą nieujemną i niech $a$ , $b$ będą takimi liczbami całkowitymi nieujemnymi, że $f (a,b) = n$ . Rozstrzygnąć, ile jest liczb $x$ spełniających równanie

$ f (a,x) + f (b,x) = n. $

LV OM - I - Zadanie 3

Niech $\mathbb{Q}$ oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych. Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ spełniające warunek

$ (1) \qquad f (x^2 + y) = xf (x) + f (y) $

dla każdej pary liczb wymiernych $x$ , $y$ .

LVII OM - I - Zadanie 5

Niech $a, b$ będą liczbami rzeczywistymi. Rozważamy funkcje $f(x)= ax+b|x|$ oraz $g(x)= ax-b|x|$ .
Wykazać, że jeśli $f(f(x)) = x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , to również $g(g(x)) = x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .

III MEMO - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ , spełniające dla dowolnych $x,y\in\mathbb R$ warunek

$ (1) \qquad f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)). $

Uwaga: $\mathbb{R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych.

L MOM - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ przekształcające zbiór dodatnich liczb całkowitych w zbiór dodatnich liczb całkowitych takie, że dla każdych dwóch dodatnich liczb całkowitych $a$ oraz $b$ istnieje niezdegenerowany trójkąt, którego boki mają długości

$ a,\quad f(b)\quad\text{oraz}\quad f(b+f(a)-1). $

(Trójkąt niezdegenerowany to taki, którego wierzchołki nie leżą na jednej prostej.)

IX CPS - Zadanie 1

Niech $\mathbb R_+$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Znaleźć wszystkie funkcje $f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ , spełniające dla dowolnych $x,y\in\mathbb R_+$ zależność

$ (1+yf(x))(1-yf(x+y))=1. $

XVIII ZMPB - Zadanie 5

Funkcja $f$ , określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $0$ , przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste różne od $1$ . Ponadto

$ f(xy)=f(x)f(-y)-f(x)+f(y) $

dla dowolnych $x,y\ne 0$ , oraz

$ f(f(x))={1\over f({1\over x})} $

dla każdego $x\not\in\{0,1\}$ . Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$ .

LIX OM - III -Zadanie 2

Funkcja $f(x, y, z)$ trzech zmiennych rzeczywistych spełnia dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c, d, e$ zależność

$ f (a, b, c)+f (b, c, d)+f (c, d, e)+f (d, e, a)+f (e, a, b)= a +b + c +d +e. $

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, \dots, x_n$ ( $n \geqslant 5$ ) prawdziwa jest równość

$ f(x_1 ,x_2 ,x_3 )+f(x_2 ,x_3 ,x_4 )+\dots +f(x_n ,x_1 ,x_2 )= x_1 +x_2 + \dots +x_n . $

LIX OM - II -Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$ , określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące
wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi równość

$ (1)\qquad f(f(x)-y)= f(x)+f(f(y)-f(-x))+x. $

Olimpiady Matematyczne