Stereometria

IX OM - III - Zadanie 5

Udowodnić twierdzenie: W czworościanie płaszczyzna dwusieczna każdego kąta dwuściennego dzieli krawędź przeciwległą na odcinki proporcjonalne do pól ścian czworościanu tworzących ten kąt dwuścienny.

IX OM - I - Zadanie 8

Jaką figurą płaską jest przekrój sześcianu o krawędzi $a$ płaszczyzną przechodzącą przez środki trzech krawędzi parami skośnych?

X OM - III - Zadanie 3

Dany jest ostrosłup o podstawie kwadratowej $ABCD$ i o wierzchołku $S$ . Znaleźć najkrótszą drogę, której początkiem i końcem jest punkt $S$ i która przechodzi przez wszystkie wierzchołki podstawy.

Z punktu $M$ powierzchni kuli poprowadzono trzy wzajemnie prostopadłe cięciwy kuli $MA$ , $MB$ , $MC$ . Dowieść, że odcinek łączący punkt $M$ ze środkiem kuli przecina płaszczyznę trójkąta $ABC$ w środku ciężkości tego trójkąta.

XI OM - III - Zadanie 2

Przez wysokość czworościanu foremnego poprowadzono płaszczyznę, która przecina płaszczyzny ścian bocznych wzdłuż $3$ prostych tworzących z płaszczyzną podstawy czworościanu kąty $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Dowieść, że

$<br /> (1) \qquad \tg^2 \alpha + \tg^2 \beta + \tg^2 \gamma =12.<br />$

XI OM - II - Zadanie 6

Obliczyć objętość czworościanu $ABCD$ mając dane krawędzie $AB = b$ , $AC = c$ , $AD = d$ oraz kąty $\measuredangle CAD = \beta$ , $\measuredangle DAB = \gamma$ i $\measuredangle BAC = \delta$ .

XI OM - I - Zadanie 12

Niech dla czworościanu $ABCD$ litery $S_A$ , $S_B$ , $S_C$ , $S_D$ oznaczają pola ścian czworościanu przeciwległych odpowiednio do wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , a $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ kąty dwuścienne czworościanu przy krawędziach $AD$ , $BD$ i $CD$ . Udowodnić, że