Wielomiany

XI OM - II - Zadanie 2

Dane są równania

$ \begin{array}{c} x^2 + p_1x + q_1 = 0\\ x^2 + p_2x + q_2 = 0\\ x^2 + p_3x + q_3 = 0, \end{array} $

z których każde dwa mają wspólny pierwiastek, ale wszystkie trzy nie mają wspólnego pierwiastka. Dowieść, że

$ (1^\circ) \qquad 2 (p_1p_2 + p_2p_3 + p_3p_1) - (p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) = 4 (q_1 + q_2+ q_3) $

$ (2^\circ) \qquad \textrm{pierwiastki tych równań są wymierne, gdy liczby $p_1$, $p_2$ i $p_3$ są wymierne}. $

XI OM - I - Zadanie 9

a) Znaleźć warunek konieczny i dostateczny do tego, aby równania kwadratowe

$ x^2 + p_1x + q_1 = 0 $

$ x^2 + p_2x + q_2 = 0 $

miały wspólny pierwiastek.

b) Dowieść, że jeżeli te równania mają wspólny pierwiastek, ale nie są identyczne, a liczby $p_1$ , $q_1$ , $p_2$ , $q_2$ są wymierne, to pierwiastki danych równań są wymierne.

XII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli równanie

$ (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $

ma trzy pierwiastki rzeczywiste, to

$ (2) \qquad b^2 \geq ac \quad \textrm{i} \quad c^2 \geq bd. $

Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?

XIII OM - II - Zadanie 2

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , żeby wielomian stopnia drugiego

$ (1) \qquad ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f $

był iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego o współczynnikach rzeczywistych ?

XIII OM - I - Zadanie 6

Rozłożyć na czynniki rzeczywiste trójmian

$ x^4 + px^2 + q, $

gdzie $p$ i $q$ są liczbami rzeczywistymi spełniającymi nierówność

$ p^2 - 4q < 0. $

XIV OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że wielomian stopnia piątego

$ P(x) = x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6 $

nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

XIV OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że wielomian

$ (1) \qquad P(x) = nx^{n+2} -(n + 2)x^{n+1} + (n + 2)x-n $

jest podzielny przez wielomian $(x - 1)^3$ .

XIV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli dwa nieidentyczne wielomiany stopnia trzeciego

$ (1) \qquad P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \textrm{ i } Q(x) = x^3 + a_1x^2 + b_1x+c_1 $

mają wspólny czynnik stopnia drugiego, to

$ (2) \qquad a \ne a_1 $

$ (3) \qquad (ac_1 - a_1c) (a - a_1) + (b - b_1) (c - c_1) = 0 $

$ (4) \qquad (bc_1 - b_1c) (a - a_1) + (c - c_1)^2 = 0. $

XIV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że iloczyn dwumianów

$ P(x) = (x^m - 1) (x^{m+1}-1) (x^{m+2}-1) (x^{m+3} - 1)(x^{m+1}- 1) , $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną, jest podzielny przez iloczyn dwumianów

$ Q(x) = (x-1) (x^2 - 1) (x^3 - 1) (x^4 - 1) (x^5 - 1). $

XV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli pierwiastki równania $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ , o współczynnikach rzeczywistych, są rzeczywiste, to pierwiastki równania $3x^2 + 2ax + b = 0$ też są rzeczywiste.

Olimpiady Matematyczne