2004-2005

LVI OM - I - Zadanie 4

Dana jest dodatnia liczba całkowita $ n $ oraz dodatnie liczby rzeczywiste $ a $, $ b $. Wyznaczyć największą możliwą wartość sumy

\[<br /> x_1y_1 +x_2y_2 +\ldots+x_ny_n,<br /> \]

gdy $ x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n},\ y_{1},\ y_{2},\ \ldots,\ y_{n} $ są liczbami z przedziału $ \langle 0;1\rangle $, spełniającymi warunki

\[<br /> (1)\qquad x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\leq a,\qquad y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n}\leq b.<br /> \]

LVI OM - I - Zadanie 3

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ punkt $ D $ jest rzutem prostokątnym punktu $ C $ na prostą $ AB $. Punkt $ E $ jest rzutem prostokątnym punk-tu $ D $ na prostą $ BC $. Punkt $ F $ leży na odcinku $ DE $, przy czym

\[<br /> \frac{EF}{FD}= \frac{AD}{DB}.<br /> \]

Wykazać, że proste $ CF $ i $ AE $ są prostopadłe.

LVI OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n>1 $, dla których wartość sumy $ 2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2} $ jest potęgą liczby pierwszej o wykładniku naturalnym.

Subskrybuje zawartość