2003-2004

LV OM - I - Zadanie 4

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $. Rozważamy wszystkie takie trójkąty równoboczne $ XYZ $, że punkty $ A $, $ B $, $ C $ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $ YZ $, $ ZX $, $ XY $. Dowieść, że środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów $ XYZ $ leżą na jednym okręgu.

LV OM - I - Zadanie 3

Niech $ \mathbb{Q} $ oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych. Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $ spełniające warunek

\[<br /> (1) \qquad f (x^2 + y) = xf (x) + f (y)<br /> \]

dla każdej pary liczb wymiernych $ x $, $ y $.

LV OM - I - Zadanie 2

Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba pierwsza $ p $ oraz liczby całkowite nieujemne $ x $, $ y $, $ z $ spełniające równanie

\[<br /> (12x + 5)(12y + 7)= p^z.<br /> \]

LV OM - I - Zadanie 1

Dany jest wielokąt o bokach długości wymiernej, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe $ 90^{\circ} $ lub $ 270^{\circ} $. Z ustalonego wierzchołka wypuszczamy promień świetlny do wnętrza wielokąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego przy tym wierzchołku. Promień odbija się zgodnie z zasadą: kąt padania jest równy kątowi odbicia. Udowodnić, że promień trafi w jeden z wierzchołków wielokąta.

Subskrybuje zawartość