2002-2003

LIV OM - I - Zadanie 4

Rozpatrujemy zbiór wszystkich $ k $-wyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru $ \{1, 2, 3,\ldots , m\} $. Z każdego takiego ciągu wybieramy wyraz najmniejszy i sumujemy wybrane wyrazy. Udowodnić, że otrzymana suma jest równa

\[<br /> 1^k + 2^k + 3^k + \ldots + m^k.<br /> \]

LIV OM - I - Zadanie 3

Trzy różne punkty $ A $, $ B $, $ C $ leżą na okręgu $ o $. Proste styczne do okręgu $ o $ w punktach $ A $ i $ B $ przecinają się w punkcie $ P $. Prosta styczna do okręgu $ o $ w punkcie $ C $ przecina prostą $ AB $ w punkcie $ Q $. Udowodnić, że

\[<br /> PQ^2 = PB^2 + QC^2.<br /> \]

LIV OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba rzeczywista $ a_1 > 1 $. Definiujemy ciąg $ (a_n) $ wzorem

\[<br /> a_{n+1} = a_n^2 - a_{n} + 1 \ \textrm{dla}\ n \geq 1.<br /> \]

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1-1}.<br /> \]

LIV OM - I - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $ x $, $ y $ spełniających równanie

\[<br /> (x + y)^2 - 2(xy)^2 = 1.<br /> \]
Subskrybuje zawartość