2000-2001

LII OM - I - Zadanie 4

Rozstrzygnąć, czy w sześciennym pudełku o krawędzi 4 można umieścić 65 kul o średnicy 1.

LII OM - I - Zadanie 3

Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne $ n \geq 2 $, że nierówność

\[<br /> (1) \qquad x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_{n}\leq\frac{n-1}{n}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2})<br /> \]

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $ x_1,x_2,\ldots,x_n $.

LII OM - I - Zadanie 2

Punkty $ D $ i $ E $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ AC $ trójkąta $ ABC $. Odcinki $ AD $ i $ BE $ przecinają się w punkcie $ P $. Punkty $ K $ i $ L $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ AC $, przy czym czworokąt $ CLPK $ jest równoległobokiem. Dowieść, że

\[<br /> \frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}.<br /> \]
Subskrybuje zawartość