1998-1999

L OM - I - Zadanie 4

Dane są takie liczby rzeczywiste $ x $, $ y $, że liczby $ x + y $, $ x^2 + y^2 $, $ x^3 + y^3 $ i $ x^4 + y^4 $ są całkowite. Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej $ n $ liczba $ x^n + y^n $ jest liczbą całkowitą.

L OM - I - Zadanie 3

W trójkącie równoramiennym $ ABC $ kąt $ BAC $ jest prosty. Punkt $ D $ leży na boku $ BC $, przy czym $ BD = 2\cdot CD $. Punkt $ E $ jest rzutem prostokątnym punktu $ B $ na prostą $ AD $. Wyznaczyć miarę kąta $ CED $.

L OM - I - Zadanie 2

Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ zachodzi nierówność

\[<br /> (a + b + c + d)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 6ab .<br /> \]

L OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że wśród liczb postaci $ 50^n + (50n + 1)^{50} $, gdzie $ n $ jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

Subskrybuje zawartość