1997-1998

XLIX OM - II - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $ x $, $ y $ spełniające równanie

\[<br /> x^2 + 3y^2 = 1998x.<br /> \]

XLIX OM - II - Zadanie 3

(a) Liczby nieujemne $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $, których suma jest równa $ 1 $, spełniają zależność

\[<br /> ace +bdf \geq \frac{1}{108}.<br /> \]

Udowodnić, że

\[<br /> abc + bcd + cde + def + ef a + f ab < \frac{1}{36} .<br /> \]

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje sześć różnych liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $ o sumie równej $ 1 $, dla których obie napisane wyżej nierówności stają się równościami.

XLIX OM - II - Zadanie 2

W trójkącie $ ABC $ kąt $ BCA $ jest rozwarty oraz $ \measuredangle BAC = 2\measuredangle ABC $. Prosta przechodząca przez punkt $ B $ i prostopadła do $ BC $ przecina prosta $ AC $ w punkcie $ D $. Punkt $ M $ jest środkiem boku $ AB $. Dowieść, ze $ \measuredangle AMC = \measuredangle BMD $.

XLIX OM - II - Zadanie 1

Niech $ A_n = \{1, 2,\ldots, n\} $. Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ istnieją funkcje $ f: A_n \to A_n $, $ g: A_n \to A_n $, spełniające warunki:

\[<br /> f (f (k))= g(g(k)) = k\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n;<br /> \]
\[<br /> g(f (k)) = k + 1\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n-1.<br /> \]
Subskrybuje zawartość