1996-1997

XLVIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich mających następującą własność: iloczyn dowolnych dwóch z nich daje resztę $ 1 $ przy dzieleniu przez trzecią liczbę.

XLVIII OM - II - Zadanie 3

Dany jest zbiór $ n $ punktów ($ n \geq 2 $), z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Kolorujemy wszystkie odcinki o końcach w tym zbiorze tak, by każde dwa odcinki o wspólnym końcu miały różne kolory. Wyznaczyć najmniejszą liczbę kolorów, dla której istnieje takie pokolorowanie.

XLVIII OM - II - Zadanie 2

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $ i spełnia warunki:

\[<br /> \measuredangle PBA = \measuredangle PCA = \frac{1}{3}(\measuredangle ABC + \measuredangle ACB).<br /> \]

Udowodnić, że

\[<br /> \frac{AC}{AB+PC}=\frac{AB}{AC+PB}.<br /> \]

XLVIII OM - II - Zadanie 1

Dla każdej liczby rzeczywistej $ a $ wyznaczyć liczbę uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych $ (x, y, z) $ spełniających układ równań

\[<br /> \left\{\begin{array}{l}<br /> x + y^2 + z^2 = a\\<br /> x^2 + y + z^2 = a\\<br /> x^2 + y^2 + z = a<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]
Subskrybuje zawartość