Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

1995-1996

XLVII OM - I - Zadanie 4

Prosta styczna do okręgu wpisanego w trójkat równoboczny $ABC$ przecina boki $AB$ i $AC$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Udowodnić, że
$\frac{|AD|}{|DB|} + \frac{|AE|}{|EC|} = 1$ .

XLVII OM - I - Zadanie 3

W pewnej grupie $kn$ osób każda osoba zna więcej niz $(k - 1)n$ innych ( $k$ , $n$ są liczbami naturalnymi). Wykazać, że można z tej grupy wybrać $k + 1$ osób, z których każde dwie sie znają.

Uwaga: Jeżeli osoba $A$ zna osobę $B$ , to osoba $B$ zna osobę $A$ .

Liczbą palindromiczną nazywamy taką liczbę naturalną, której zapis dziesiętny czytany od strony lewej do prawej jest taki sam, jak czytany od strony prawej do lewej. Niech $(x_n)$ bedzie rosnącym ciągiem wszystkich liczb palindromicznych. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze, które są dzielnikami co najmniej jednej z różnic $x_{n+1}-x_n$ .