Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

1994-1995

XLVI OM - I - Zadanie 4

W pewnej szkole 64 uczniów bierze udział w pięciu olimpiadach przedmiotowych. W każdej z tych olimpiad uczestniczy co najmniej 19 uczniów tej szkoły; żaden z nich nie jest uczestnikiem więcej niż trzech olimpiad. Udowodnić, że jeżeli każde trzy olimpiady mają wspólnego uczestnika, to pewne dwie mają ich co najmniej pięciu.

XLVI OM - I - Zadanie 3

Czworokąt o bokach $a$ , $b$ , $e$ , $d$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R$ . Wykazać, że jeżeli $a^2 + b^2 + c^2 + d^2= 8R^2$ , to w czworokącie tym jeden z kątów jest prosty lub przekątne są prostopadłe.

XLVI OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Rozwiązać układ równań

$ \begin{cases} x_1|x_1| = x_2|x_2| + (x_1-1)|x_1-1| \\ x_2|x_2| = x_3|x_3| + (x_2-1)|x_2-1| \\ \ldots \ldots \ldots \ldots\\ x_n|x_n| = x_1|x_1| + (x_n-1)|x_1-1| \\ \end{cases} $