1993-1994

XLV OM - I - Zadanie 4

Dany jest okrąg o środku $ O $, punkt $ A $ wewnątrz tego okręgu oraz cięciwa $ PQ $, nie będąca średnicą, przechodząca przez $ A $. Proste $ p $ i $ q $ są styczne do rozważanego okręgu odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $. Prosta $ l $ przechodząca przez punkt $ A $ i prostopadła do $ OA $ przecina proste $ p $ i $ q $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Wykazać, że $ |AK|=|AL| $.

XLV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $ a $, $ b $, $ c $ są długościami boków trójkąta, to

\[<br /> \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b} + \frac{1}{a+b-c}.<br /> \]

XLV OM - I - Zadanie 2

Ciąg funkcji $ f_0, f_1, f_2, \ldots $ jest określony następująco:

\[<br /> f_0(x) = |x| \quad \text{ dla wszystkich } x \in \mathbb{R},<br /> \]
\[<br /> f_{n+1}(x) = |f_n(x)-2| \quad \text{ dla } n=O,1,2, \ldots \text{ oraz wszystkich } x \in \mathbb{R}.<br /> \]

Dla każdej liczby naturalnej $ n $ rozwiązać równanie $ f_n(x) = 1 $.

XLV OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że układ równań

\[<br /> \begin{cases}<br /> a^2 - b = c^2 \\<br /> b^2 - a = d^2<br /> \end{cases}<br /> \]

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich $ a $, $ b $, $ c $, $ d $.

Subskrybuje zawartość