1991-1992

XLIII OM - I - Zadanie 3

Dane są liczby naturalne $ a $ i $ b $. Udowodnić, że liczby naturalne $ c $ i $ d $
spełniające równość

\[<br /> a^2+b^2+c^2 = d^2<br /> \]

istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy $ ab $ jest liczbą parzystą.

XLIII OM - I - Zadanie 2

W kwadracie $ ABCD $ o boku długości $ 1 $ punkt $ E $ leży na boku $ BC $, punkt $ F $ leży na boku $ CD $, miary kątów $ EAB $ i $ EAF $ wynoszą odpowiednio $ 20^{\circ} $ i $ 45^{\circ} $. Obliczyć wysokość, trójkąta $ AEF $ poprowadzoną z wierzchołka $ A $.

XLIII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć, w zależności od stałych rzeczywistych $ a $, $ b $ liczbę rozwiązań układu równań

\[<br /> \begin{cases}<br /> |x+y|+|x-y| &= 2a \\<br /> y-b &= |x-b|.<br /> \end{cases}<br /> \]
Subskrybuje zawartość