Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

1990-1991

XLII OM - I - Zadanie 4

Obliczyć granicę

$ \lim_{n\to \infty} \sqrt[3n]{\sum_{k=0}^n \binom{3n}{3k}} $

XLII OM - I - Zadanie 3

Liczby rzeczywiste $a$ , $x$ , $y$ , $z$ spełniają równość

$ \frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x+y+z)} = \frac{\sin x + \sin y + \sin z}{\sin(x+y+z)} = a $

Wykazać, że

$ \cos(y+z)+\cos(z+x)+\cos(x+y) = a $

XLII OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające nierówność

$ 2\left| x - |x + |x-1|| \right| > \left x + |x - |x+1|| \right|. $

Na brzegu jeziora w kształcie koła znajdują się cztery przystanie $K$ , $L$ , $P$ , $Q$ . Z przystani $K$ wypływa kajak kierując się do przystani $Q$ , a z przystani $L$ wypływa łódka kierując się do przystani $P$ . Wiadomo, że gdyby zachowując swe prędkości kajak popłynął w kierunku przystani $P$ , a łódka w kierunku przystani $Q$ , to doszłoby do zderzenia. Dowieść, że kajak i łódka dobiją do celu w tym samym czasie.

Czytaj dalej

Olimpiady Matematyczne

1990-1991

XLII OM - I - Zadanie 4

XLII OM - I - Zadanie 3

XLII OM - I - Zadanie 2

XLII OM - I - Zadanie 1

Klasyfikacja tematyczna

Rok

Zawody