1989-1990

XLI OM - I - Zadanie 4

Z szachownicy o wymiarach $ 8 \times 80 $ polach pokolorowanych w zwykły sposób usunięto dwa poła różnych kolorów. Udowodnić, że pozostałe $ 62 $ pola można pokryć 31 prostokątami o wymiarach $ 2\times 1 $.

XLI OM - I - Zadanie 3

Na zewnątrz trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano trójkąty równoboczne $ ABC' $, $ BCA' $, $ CAB' $. Dowieść, że odcinki $ AA' $, $ BB' $, $ CC' $ przecinają się w jednym punkcie i są równej długości.

XLI OM - I - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli liczby $ A $, $ B $ są różne od zera, to funkcja

\[<br /> f(x) = A\sin x+B \sin(\sqrt{2}\cdot x)<br /> \]

nie jest okresowa.

XLI OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć w zależności od stałych rzeczywistych $ a $, $ b $ liczbę rzeczywistych pierwiastków równania

\[<br /> \sqrt{(x-a)\cdot|x-b|} = (a-b)^2.<br /> \]
Subskrybuje zawartość