1988-1989

XL OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że nie można tak pociąć kwadratu wzdłuż skończonej liczby odcinków i łuków okręgów, by z otrzymanych części można było złożyć koło (części można odwracać).

XL OM - I - Zadanie 3

Trójkąty $ ABC $ i $ ABC' $ mają równo obwody, a dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach $ C $ i $ C' $ przecinają się w punkcie $ O $. Dowieść, że kąty $ AOC $ i $ BOC' $ są równe.

XL OM - I - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $ n $ znaleźć liczbę rozwiązań równania

\[<br /> x^2 - [x^2] = (x - [x])^2<br /> \]

spełniających warunek $ 1 \leq x \leq n $.
Uwaga. $ [t] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ t $.

XL OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że jeśli liczby $ k $, $ n $ ($ k < n $) są względnie pierwsze, to liczba $ \binom{n-1}{k-1} $ jest podzielna przez $ k $.

Subskrybuje zawartość