Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

1987-1988

XXXIX OM - I - Zadanie 4

W elipsę wpisano trójkąt o maksymalnym obwodzie. Udowodnić, że w każdym wierzchołku kąty między styczną do elipsy a bokami wychodzącymi z tego wierzchołka są równe.

Dla danego punktu $P$ leżącego wewnątrz trójkąta $ABC$ rozważamy
punkty $A'$ i $A''$ leżące na półprostej $AP^{\rightarrow}$ tak, że $A' \in BC$ , $|AA''| = 2|AA'|$ ;
punkty $B'$ i $B''$ leżące na półprostej $BP^{\rightarrow}$ tak, że $B' \in CA$ , $|BB''| = 2|BB'|$ ;
punkty $C'$ i $C''$ leżące na półprostej $CP^{\rightarrow}$ tak, że $C \in AB$ , $|CC''| = 2|CC'|$ .
Wyrazić pole trójkąta $A''B''C''$ za pomocą pól trójkątów $ABC$ i $A'B'C'$ .