1986-1987

XXXVIII OM - I - Zadanie 4

Dla danej liczby naturalnej $ n $ rozpatrujemy rodzinę $ W $ wszystkich takich zbiorów $ A $ par liczb naturalnych nie większych od $ n $, że jeżeli $ (a, b) \in A $, to $ (x, y) \in A $ dla $ 1 \leq x \leq a $, $ 1 \leq y \leq b $.

Wykazać, że rodzina $ W $ składa się z $ \binom{2n}{n} $ różnych zbiorów.

XXXVIII OM - I - Zadanie 2

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by liczby dodatnie $ a, b, c $ były długościami boków pewnego trójkąta jest, by spełniały one nierówność $ |a—b| < c < |a+b| $. Sformułować i udowodnić analogiczne warunki konieczne i wystarczające na to, by trzy liczby dodatnie były długościami:

a) wysokości pewnego trójkąta,

b) środkowych pewnego trójkąta.

XXXVIII OM - I - Zadanie 1

Wielomian $ P(x) = a_0+a_1x+ \ldots +a_nx_n^n $ spełnia warunki $ P(1) = 0 $ oraz $ P(x) \geq 0 $ dla każdego $ x \in \mathbb{R} $. Dowieść, że

\[<br /> a_n+2a_{n-1}+ \ldots +(n+1)a_0 = 0.<br /> \]
Subskrybuje zawartość