1985-1986

XXXVII OM - I - Zadanie 4

W dany okrąg wpisujemy trójkąt ostrokątny $ ABC $. Niech $ A_1, B_1, C_1 $ będą odpowiednio środkami łuków $ BC, CA, AB $ zawartych w półokręgach. Udowodnić, że pole trójkąta $ ABC $ nie jest większe od pola trójkąta $ A_1B_1C_1 $ oraz, że pola te są równe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

XXXVII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ wielomian

\[<br /> (x^4-1)(x^3-x^2+x-1)^k + (x+1)x^{4k-1}<br /> \]

dzieli się przez $ x^5+1 $.

XXXVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ x,y,z $ są takimi liczbami nieujemnymi, że $ x + y + z = 1 $, to

\[<br /> \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} \leq \frac{3}{4}.<br /> \]

XXXVII OM - I - Zadanie 1

Niech liczby naturalne $ a_n $ i $ b_n $ spełniają równość

\[<br /> a_n+b_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n.<br /> \]

Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} $.

Subskrybuje zawartość