1983-1984

XXXV OM - I - Zadanie 4

Dane są dwa przecinające się okręgi $ o(O_1, r_1) $ i $ o(O_2, r_2) $ i prosta styczna do nich odpowiednio w punktach $ A $ i $ B $. Punkt $ C $ jest punktem wspólnym tych okręgów bliższym prostej $ AB $, $ R $ jest długością promienia okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, $ d = O_1O_2 $ Udowodnić, że $ \measuredangle ABC = \measuredangle O_1CO_2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 + R^2 $.

XXXV OM - I - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wartości $ p, q $, dla których nierówność

\[<br /> |\sqrt{1-x^2} - px - q| \leq \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)<br /> \]

zachodzi dla każdego $ x $ z przedziału $ [0; 1] $.

XXXV OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie wartości parametru $ a $, dla których układ równań

\[<br /> \begin{split}<br /> x + y + z &= 2,\\<br /> xy + yz +zx &= 1,\\<br /> xyz &= a.<br /> \end{split}<br /> \]

ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych.

XXXV OM - I - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy sześciokąt foremny można pokryć sześcioma kołami o średnicy równej długości boku sześciokąta.

Subskrybuje zawartość