Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

1982-1983

XXXIV OM - I - Zadanie 4

We wnętrzu koła $K$ znajduje się $n$ kół, których środki leżą na średnicy $K$ . Wykazać, że obwód sumy mnogościowej tych kół nie przekracza obwodu $K$ .

Liczby $x_1, x_2$ są pierwiastkami równania $x^2+ax+b = 0$ , o współczynnikach całkowitych, przy czym $|x_1| < 1$ . Dowieść, że $\lim_{n\to \infty} \{x_2^n\} = 0$ , gdzie $\{t\}$ jest taką liczbą z przedziału $\langle -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$ , że $t+ \{t\}$ jest liczbą całkowitą.