1981-1982

XXXIII OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br /> 2^n\binom{n}{0} + 2^{n-1}\binom{n+1}{1} + 2^{n-2}\binom{n+2}{2} + \ldots + \binom{2n}{n} = 2^{2n}.<br /> \]

XXXIII OM - I - Zadanie 2

Niech $ p $ będzie ustaloną liczbą pierwszą. Udowodnić, że liczba

\[<br /> \underbrace{11\ldots 1}\underbrace{22\ldots 2}\ldots \underbrace{99\ldots 9} - 123456789<br /> \]

dzieli się przez $ p $.

XXXIII OM - I - Zadanie 1

Dwudziestopięciokąt foremny $ A_1,A_2, \ldots, A_{25} $ wpisany jest w okrąg o środku $ O $ i promieniu długości $ r $. Jaka jest maksymalna długość wektora będącego sumą pewnych spośród wektorów $ \overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \ldots, \overrightarrow{OA_{25}} $?

Subskrybuje zawartość