1980-1981

XXXII - I - Zadanie 4

Na bokach trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano kwadraty $ ABED $, $ BCGF $, $ ACHI $ leżące na zewnątrz trójkąta. Udowodnić, że środkowe trójkąta utworzonego przez proste $ EF $, $ GH $, $ DI $ są prostopadłe do boków trójkąta $ ABC $.

XXXII - I - Zadanie 3

Na kuli $ K $ opisano stożek $ S_1 $. Niech $ A $ będzie środkiem okręgu styczności stożka z kulą. Przez wierzchołek stożka $ S_1 $ poprowadzono płaszczyznę $ \Pi $ prostopadłą do osi stożka. Na kuli $ K $ opisano drugi stożek $ S_2 $, którego wierzchołek leży na płaszczyźnie $ \Pi $. Dowieść, że płaszczyzna okręgu styczności stożka $ S_2 $ z kulą $ K $ przechodzi przez punkt $ A $.

XXXII - I - Zadanie 2

Dana jest liczba całkowita nieujemna $ n $. Dowieść, że liczba takich układów liczb całkowitych $ n_1 \geq n_2 \geq \ldots \geq n_k \geq 0 $, że

\[<br /> 2^{n_1}+2^{n_2}+\ldots + 2^{n_k} = 2^n<br /> \]

jest nie mniejsza niż $ 2^n $.

XXXII - I - Zadanie 1

Dane są ciągi $ (x_n) $, $ (y_n) $ liczb rzeczywistych spełniające warunki

\[<br /> \begin{split}<br /> x_{n+1} %= x_n^3 - 3x_n \\<br /> y_{n+1} = y_n^3 - 3y_n \quad \text{dla } n = 0, 1, 2, \ldots, \\<br /> x_0^2 = y_0 + 2.<br /> \end{split}<br /> \]

Dowieść, że $ x_n^2 = y_n + 2 $ dla $ n = 1, 2,\ldots $.

Subskrybuje zawartość