1979-1980

XXXI - I - Zadanie 4

Udowodnić, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartość 1 dla czterech różnych argumentów całkowitych, to dla żadnego argumentu całkowitego nie przyjmuje wartości -1.

XXXI - I - Zadanie 3

W okrąg $ k $ wpisany jest trójkąt $ ABC $. Na okręgu $ k $ wybrano takie punkty $ A', B', C' $, że proste $ AA', BB', CC' $ zawierają środkowe trójkąta $ ABC $. Wykazać, że pole trójkąta $ A'B'C' $ jest nie mniejsze od pola trójkąta $ ABC $.

XXXI - I - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a, b, x, y, \alpha $ prawdziwa jest nierówność

\[<br /> \frac{a^{\alpha+1}}{x^{\alpha}} + \frac{b^{\alpha+1}}{y^{\alpha}} \leq<br /> \frac{(a+b)^{\alpha+1}}{(x+y)^{\alpha}}<br /> \]

XXXI - I - Zadanie 1

Zbadać dla jakich wartości parametru $ a $ romb o boku długości $ a $ jest przekrojem sześcianu o krawędzi długości 2 płaszczyzną przechodzącą przez środek sześcianu.

Subskrybuje zawartość