Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

1978-1979

XXX OM - I - Zadanie 4

W wielościanie wypukłym $Q$ umieszczono wielościan wypukły $P$ , w którym obrano punkt wewnętrzny $O$ . Dla każdego punktu $X$ leżącego na ścianie wielościanu $Q$ oznaczono przez $P_X$ punkt przecięcia odcinka $\overline{OX}$ ze ścianą wielościanu $P$ . Dowieść, że istnieje taki wierzchołek $Y$ wielościanu $Q$ , że

$<br /> \frac{OY}{OP_Y} \geq \frac{OX}{OP_X}<br />$

dla każdego punktu $X$ leżącego na dowolnej ścianie wielościanu $Q$ .

XXX OM - I - Zadanie 3

Liczby $a, b, c, d, e$ są liczbami wymiernymi dodatnimi. Dowieść, że istnieją takie liczby wymierne $u_1, u_2, \ldots, u_n$ oraz liczby wymierne nieujemne $w_1, w_2, \ldots, w_n$ , że

$<br /> \frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{d}+\sqrt[4]{e}} = u_1\sqrt[4]{w_1} + u_2\sqrt[4]{w_2} + \ldots + u_n\sqrt[4]{w_n}.<br />$

XXX OM - I - Zadanie 2

Na płaszczyźnie danych jest $n$ punktów ( $n > 4$ ), z których żadne trzy nie są współliniowe. Udowodnić, że istnieje co najmniej $\binom{n-3}{2}$ czworokątów wypukłych, których wierzchołkami są pewne z danych punktów.