Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

1974-1975

XXVI - I - Zadanie 4

Dane są parami rozłączne kule $K_1, K_2, K_3$ o promieniach parami różnych. Niech $A_{ij}$ będzie wierzchołkiem, stożka opisanego na kulach $K_i$ i $K_j$ . Dowieść, że punkty $A_{12}$ , $A_{23}$ , $A_{31}$ są współliniowe.

XXVI - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdego naturalnego $n$

$<br /> \sum_{j=0}^{n-1} \left| \cos \frac{j\pi}{n}\right| \geq \frac{n}{2}.<br />$

XXVI - I - Zadanie 2

W czworokącie płaskim wypukłym $ABCD$ wybrano na bokach przeciwległych $\overline{AB}$ i $\overline{GD}$ punkty $P$ i $B$ , zaś na bokach przeciwległych $\overline{AD}$ i $\overline{BC}$ punkty $Q$ i $S$ w ten sposób, że $\frac{AP}{PB} = \frac{DR}{RC} = a$ , $\frac{AQ}{QD} = \frac{BS}{SC} = b$ . Dowieść, że jeżeli $O$ jest punktem przecięcia odcinków $\overline{PR}$ i $\overline{QS}$ , to $\frac{PO}{OR} = b$ oraz $\frac{QO}{OS} = a$ .

XXVI - I - Zadanie 1

Na balu były 42 osoby. Pani $A_1$ tańczyła z 7 panami, pani $A_2$ tańczyła z 8 panami, ..., pani $A_n$ tańczyła, ze wszystkimi panami. Ilu panów było na balu?