1973-1974

XXV - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeśli $ x_1, \ldots, x_n $ są takimi liczbami rzeczywistymi, że $ \sum_{i=1}^n x_i = 0 $, to dla dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $ prawdziwa jest nierówność

\[<br /> \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i-t_j)^2 x_ix_j<br /> \]

XXV - I - Zadanie 3

Udowodnić, że dwusieczne kątów utworzonych przez proste zawierające przeciwległe boki czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg są odpowiednio równoległe do dwusiecznych kątów utworzonych przez proste zawierające przekątne tego czworokąta.

XXV - I - Zadanie 1

W czasie pierwszej wojny światowej toczyła się bitwa w pobliżu pewnego zamku. Jeden z pocisków rozbił stojącą u wejścia do zamku statuą rycerza z piką w ręku. Stało się to ostatniego dnia miesiąca. Iloczyn daty dnia, numeru miesiąca, wyrażonej w stopach długości piki, połowy wyrażonego w latach wieku dowódcy baterii strzelającej do zamku oraz połowy wyrażonego w latach czasu, jaki stała statua, równa sią 451 066. W którym roku postawiono statuę?

Subskrybuje zawartość