1972-1973

XXIV OM - I - Zadanie 4

W czworościanie $ ABCD $ na, prostej łączącej środki krawędzie $ \overline{AB} $ i $ \overline{CD} $ obrano dowolny punkt $ P $ nie leżący na tych krawędziach. Udowodnić, że proste $ PA $, $ PB $, $ PC $, $ PD $ przecinają płaszczyznę równoległą do krawędzi $ AB $ i $ CD $ w punktach będących wierzchołkami równoległoboku.

XXIV OM - I - Zadanie 3

Niech $ w(x) $ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeżeli liczba naturalna $ d $ jest dzielnikiem każdej z liczb $ a_n = 3^n + w(n) $, gdzie $ n = 0, 1, 2, \ldots $, to $ d $ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.

XXIV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że spośród 25 różnych liczb dodatnich można wybrać dwie, których ani suma, ani różnica nie jest równa żadnej z pozostałych liczb.

XXIV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdego trójkąta istnieje prosta dzieląca ten trójkąt na dwie figury o równych obwodach i równych polach.

Subskrybuje zawartość