1971-1972

XXIII OM - I - Zadanie 4

Punkty $ A $ i $ B $ nie należą do płaszczyzny $ \pi $. Znaleźć zbiór wszystkich punktów $ M\in \pi $ o tej własności, że proste $ AM $ i $ BM $ tworzą z płaszczyzną $ \pi $ równe kąty.

XXIII OM - I - Zadanie 3

Udowodnić, że jeżeli $ A, B, C $ są kątami trójkąta, zaś $ t $ - liczbą rzeczywistą, to

\[<br /> \cos A + t (\cos B + \cos C) \leq 1 + \frac{t^2}{2} .<br /> \]

XXIII OM - I - Zadanie 2

Dla danej liczby pierwszej $ p $ wyznaczyć wszystkie takie ułamki nieskracalne $ \frac{a}{b}>0 $, że

\[<br /> \frac{a+p}{b+p} - \frac{a}{b} = \frac{1}{p^2}.<br /> \]
Subskrybuje zawartość