1970-1971

XXII OM - I - Zadanie 4

Wyznaczyć kąty, jakie tworzy płaszczyzna przechodząca przez środki trzech skośnych krawędzi sześcianu ze ścianami sześcianu.

XXII OM - I - Zadanie 3

Przez punkt $ P $, należący do płaszczyzny trójkąta $ ABC $, poprowadzono trzy proste prostopadłe odpowiednio do prostych $ BC $, $ AC $ i prostej zawierającej środkową $ \overline{CE} $. Udowodnić, że przetną one prostą zawierającą wysokość $ CD $ odpowiednio w takich punktach $ K, L, M $, że $ KM = LM $.

XXII OM - I - Zadanie 2

Udowodnić, że dla każdych liczb dodatnich $ p $ i $ q $ spełniających warunek $ p + q = 1 $ zachodzi nierówność

\[<br /> p \log p + q \log q \geq - \log 2.<br /> \]

XXII OM - I - Zadanie 1

Udowodnić twierdzenie: Współczynnik dwumianowy $ \binom{n}{k} $ ma przy każdym naturalnym $ k < n $ ten sam czynnik wspólny z $ n $ większy od jedności wtedy i tylko wtedy, gdy $ n $ jest potęgą liczby pierwszej.

Subskrybuje zawartość