1969-1970

XXI OM - I -Zadanie 4

W kwadracie $ ABCD $, którego bok ma długość 1, leży czworokąt wypukły o polu większym od $ \frac{1}{2} $ . Dowieść, że w tym czworokącie mieści się odcinek o długości $ \frac{1}{2} $ równoległy do $ \overline{AB} $.

XXI OM - I -Zadanie 3

Na bokach $ \overline{BC} $, $ \overline{CA} $, $ \overline{AB} $ trójkąta $ ABC $ obrano odpowiednio punkty $ K, L, M $ w taki sposób, że odcinki $ \overline{AK} $, $ \overline{BL} $, $ \overline{CM} $ przecinają się w punkcie o lezącym wewnątrz trójkąta i $ \frac{AS}{SK}=\frac{BS}{SL}=\frac{CS}{SM} $. Dowieść, że $ S $ jest środkiem ciężkości trójkąta.

XXI OM - I -Zadanie 2

Dany jest ciąg $ \{c_n\} $ określony wzorami $ c_1=\frac{a}{2} $, $ c_{n+1}=\frac{a+c_n^2}{2} $ gdzie $ a $ jest daną liczbą spełniającą nierówność $ 0 < a < 1 $. Dowieść, że dla każdego $ n $ zachodzi nierówność $ c_n < 1 - \sqrt{1 - a} $Wykazać zbieżność ciągu $ \{c_n\} $ i obliczyć jego granicę.

Subskrybuje zawartość