1967-1968

XIX OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dane są proste równoległe $ a $ i $ b $ oraz punkt $ M $ leżący na zewnątrz pasa ograniczonego tymi prostymi. Wyznaczyć na prostych $ a $ i $ b $ odpowiednio punkty $ A $ i $ B $ w taki sposób, żeby odcinek $ AB $ był prostopadły do $ a $ i $ b $, a przy tym kąt $ AMB $ był największy.

XIX OM - I - Zadanie 3

Na dwóch prostych skośnych leżą odcinki $ AB $ i $ CD $, których środkami są odpowiednio punkty $ M $ i $ N $. Dowieść, że

\[<br /> MN < \frac{1}{2}(AD + BC).<br /> \]

XIX OM - I - Zadanie 2

Niech $ p(n) $ oznacza liczbę liczb pierwszych nie większych od liczby naturalnej $ n $. Dowieść, że jeżeli $ n \geq 8 $, to $ p(n) < \frac{n}{2} $

Subskrybuje zawartość