Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

1963-1964

XV OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie leży 5 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Dowieść, że wśród nich są cztery punkty będące wierzchołkami czworokąta wypukłego.

XV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że punkty symetryczne do punktu przecięcia wysokości trójkąta $ABC$ względem prostych $AB, BC, CA$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$ .

Udowodnić następujące dwie cechy podzielności przez 7:
a) Liczba naturalna $N$ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $P$ utworzona w taki sposób: pierwszą od lewej strony cyfrę liczby $N$ mnożymy przez 3 i do wyniku dodajemy drugą cyfrę; otrzymaną liczbę mnożymy przez 3 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.
b) Liczba naturalna $N$ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $Q$ utworzona w ten sposób, że ostatnią (od lewej strony) cyfrę liczby $N$ mnożymy przez 5, do wyniku dodajemy przedostatnią cyfrę, otrzymaną liczbę mnożymy przez 5 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę od końca itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.